Fattore di Direttività Q

Come anticipato nel corso di questa trattazione il Q, lettera utilizzata come standard per definire il grado di direttività di una curva di equalizzazione, o meglio chiamato Quality Factor (a volte anche Campanatura per la forma della curva che si viene a creare o Fattore di Merito), è il parametro che definisce appunto la precisione del filtro. Tanto più questo valore è alto e tanto più preciso il filtro sarà, su di una banda di frequenze sempre più piccola incentrata su di una frequenza centrale che ha il massimo valore energetico (fig. 1). Diminuendo il Q la banda si allarga e si lavora con un range di frequenze più ampio (fig. 2), ma sempre con massimo valore energetico ad un’unica frequenza centrale.

Fig. 1 (1.000 Hz – Q8)

Fig. 2 (1.000 Hz – Q1)

Guardando le immagini nelle figure 1 e 2 si nota quindi come la Bandwidth di un Q8 sia molto più selettiva di quella di un Q1, e guardando lo sfasamento si capisce anche come variando il Q non varia il grado di sfasamento (se non per alcuni particolari circuiti non standard), il quale sfasamento dipende invece dal guadagno o attenuazione che si da al segnale. La frequenza centrale come anche in alcuni filtri precedentemente visti è sempre a 0° e si ha sfasamento negativo sopra ad essa e sfasamento positivo sotto ad essa, ma anche questo dipende molto dal tipo di circuito.

In questi casi di esempio si ha uno sfasamento di + 35° a 920 Hz e – 35° a 1.060 Hz per il Q8 e + 35° a 700 Hz e – 35° a 1.650 Hz per il Q1, quindi si ha uno sfasamento molto maggiore su di una più ampia Bandwidth tanto più il Q è basso. Si nota anche come lo sfasamento segua l’andamento della curva di taglio prima e dopo la frequenza centrale, causando un più ripido sfasamento vicino alla frequenza centrale stessa e poi un via via sempre più dolce sfasamento all’aumentare della frequenza sempre più distante da essa.

Questo fa capire come lavorare a più alti valori direttivi porta anche benefici con meno distorsioni di fase, ma questo valore come vedremo in altre argomentazioni, dipenderà essenzialmente da ciò che vogliamo ottenere ed in un contesto reale in quale e quanto banda di frequenze vogliamo processare. Come vedremo più avanti lavorare ad esempio con tanti filtri parametrici direttivi non porta gli stessi effetti di un unico filtro parametrico a più ampia Bandwidth e quindi si ottengono differenti curve di equalizzazione, maggiori sfasamenti e distorsioni sul segnale audio.

Per un vantaggio in termini di fase e precisione del filtro più direttivo ci potremmo aspettare una più marcata distorsione e Ripple lungo la banda audio e di conseguenza anche nella Stopband, come avviene per pendenze di taglio sempre più ripide nei filtri Cut Out, e questo discorso vale anche per un qualsiasi filtro direttivo, come anche gli Shelving. In questo caso visualizzabile soprattutto dai grafici della risposta all’impulso più precisi, si nota come un Q elevato porti meno distorsioni nella fase di inviluppo dell’impulso (parte di sinistra), mentre maggiore distorsione nella fase di decadimento (parte di destra) rispetto ad un Q più piccolo. Guardando invece il solo impulso, si nota come sia molto più preciso con Q elevato.

n.b. Per quanto riguarda la risposta all’impulso, più si presenta come una linea retta e più il processamento sarà preciso sulla frequenza centrale selezionata, circuiti diversi faranno dipendere una più o meno precisione e questo a parità di Q si presenta con una maggiore o minore qualità del filtro stesso e questo in alcuni circuiti può anche dipendere dalla frequenza.

Questo vuole dire che lavorando con filtri a Q elevato si ha maggiore precisione nel processamento, per via di una più piccola banda processata contenuta all’interno di un guadagno in Boost o Cut limitato. Questo soprattutto in ambito analogico, è vero fino ad un limite di Q abbastanza contenuto, pari a circa 3 – 4, oltre al quale cominciano a generarsi forti oscillazioni e quindi un aumento proporzionale delle distorsioni. Mentre come vedremo a livello software si riesce a lavorare finemente e con sempre meno distorsioni e precisione dell’impulso fino ai più alti valori di Q possibili (+ 50).

In termini pratici di ascolto, si traduce in un filtro che lavora meglio con Q più elevati ma genera anche più distorsioni. Un equalizzatore di qualità è quello che riesce a lavorare bene e mantenere bassi anche i valori di distorsione.

In questo esempio il Q8 porta distorsione Ripple da – 30 dB rispetto al picco dell’impulso, mentre nel Q1 la distorsione ha un valore energetico massimo che si avvicina a – 15 dB, quindi molto più rumoroso. Nel grafico del valore di distorsione della risposta all’impulso del Q1 si nota anche come per una differente risoluzione (ancora più accurata), la risposta all’impulso sia molto meno precisa (più larga), rispetto a quella del Q8.

Variando la frequenza non varia la curva del filtro e nemmeno il suo sfasamento, varia invece il livello di distorsione generato, ma come vedremo esistono circuiti che volutamente effettuano questo tipo di colorazione.

Fig. 3 (100 Hz – Q8)

Fig. 4 (100 Hz – Q1)

Come si vede dalle figure 3 e 4 a livello di “campanatura”, quindi pendenza e precisione del filtro e stesso discorso per la fase, a 100 Hz non cambia nulla, come non cambia nulla a qualsiasi altra frequenza, semplicemente il tutto si sposta con frequenza centrale a sfasamento di 0° secondo la selezione. Più si abbassa la frequenza e meno Ripple ci sono ma a più ampia Bandwidth, al contrario per frequenze sempre più alte. Quindi in bassa la media delle distorsioni è maggiormente percepibile che in alta, in quanto che gli sbalzi tra valori energetici più alti e più bassi sono più marcati.

In conclusione, in un filtro Parametrico la distorsione della frequenza è direttamente proporzionale al Q, per Q sempre più alti la distorsione aumenta al diminuire della frequenza, al contrario per Q larghi la distorsione aumenta all’aumentare della frequenza (fig. 5 – 6).

Fig. 5 (100 Hz Q10 – 10.000 Hz Q10)

Fig. 6 (100 Hz Q1 – 10.000 Q1)

n.b. Come è facile intuire, tanto più il guadagno o attenuazione è elevato e tanto maggiore sarà anche la distorsione e sfasamento introdotto.

In senso pratico è quindi utile e qualitativo utilizzare più bassi valori di Q in bassa frequenza e più alti valori di Q in alta frequenza.

n.b. Generalmente valori minimi di Q considerati utili per questo tipo di filtri sono Q 0,1.

A livello di circuiteria, per variare il Q è necessario agire sui rapporti tra dedicati condensatori e/o resistenze all’interno del circuito, sia per i filtri passivi che quelli attivi, ma che comportano una variazione di guadagno anche quando il filtro non lavora, oltre che tendere a rendere il filtro Asimmetrico nei suoi valori di Boost e Cut. Questi sono i più scadenti ed utilizzati per i filtri Peak, soprattutto a livello commerciale. Quelli più qualitativi invece aggiungono dei resistori passivi alla circuiteria e questi sono collegati in modo da non influire negativamente sul guadagno, variando poi il rapporto di resistenza di questi resistori si possono creare Q più o meno elevati, ma come detto, a livello analogico per evitare oscillazioni e risonanza ci si limita a valori di Q3 – Q4.

n.b. Un ottimo filtro è costruito in modo tale che dando Boost o Cut non ci siano variazioni di frequenza, ma questa venga mantenuta stabile alle variazioni di guadagno, e questo non è sempre vero soprattutto nei filtri più scadenti che offrono invece molte oscillazioni. In più i Potenziometri vengono spesso costruiti con limitatori, in quanto che e soprattutto per elevati valori di Q, oltre una certa soglia di amplificazione è facile che creino risonanze ed oscillazioni, e per questo vengono limitati a valori di qualche dB sotto le loro reali capacità. Come vedremo più avanti non è raro trovare Potenziometri che abbiano la possibilità di attenuare su di un range molto più ampio rispetto a quanto possono amplificare.

Frequenza di Taglio Inferiore e Superiore

Guardando il grafico di curva di un filtro Parametrico è possibile identificare due frequenze di taglio, che sono le frequenze che identificano come per i filtri Cut Out la soglia in cui comincia il decadimento proporzionale lineare del valore energetico (fig. 7), sotto le quali si va ad identificare la Stopband e sopra le quali si identifica la Passband. Pendenze tanto più morbide e dolci tanto più la distanza tra le due frequenze è grande.

Fig. 7

Per un filtro ideale teorico queste frequenze di taglio sono identificate nell’esempio di figura 7 a – 3 dB in cui la pendenza del filtro come vedremo anche di seguito è piu lineare, ma in realtà come vedremo analizzando i vari filtri Parametrici dipendono dal tipo di filtro e soprattutto avendo guadagno variabile il livello del segnale può trovarsi anche ad esempio a +/- 1 dB e per cui questo riferimento a – 3 dB non si presenta, ma è conseguentemente rapportato.

Il – 3 dB è il riferimento teorico da utilizzo di filtri passa-banda per la creazione di filtri Parametrici (come visto nella prima parte di questa serie di articoli), quindi per selezionare la banda di frequenze desiderata da processare, ma questo non considera la parte risonante che da forma alla campana. In un contesto reale è più giusto considerare la presenza della frequenza di taglio inferiore o superiore quando queste hanno un valore medio di 0,707 rispetto alla frequenza centrale considerata di valore 1. Valore che come già spiegato nella prima parte di questa serie di articoli è il livello energetico medio percepito dall’uomo.

Bandwidth

In considerazione della frequenza di taglio inferiore e superiore, conoscendo questo, è possibile agendo su di esse variare la larghezza di banda del filtro stesso, che in pratica è come lavora il Q. Quindi un Q più alto equivale a ridurre la Bandwidth tra la frequenza di taglio inferiore e superiore, al contrario per avere Q più bassi.

In alcuni equalizzatori è possibile come vedremo più avanti, trovare il regolatore di Bandwidth al posto del Q, il principio è lo stesso.

E’ possibile ricavare la larghezza di banda (Bandwidth) di un filtro parametrico tramite la seguente formula:

Bw = (f2 – f1)

Ad esempio se ho la frequenza di taglio inferiore (f1) a 2.000 Hz e quella di taglio superiore (f2) a 3.000 Hz, si avrà che la larghezza di banda del filtro sarà:

Bw = 3.000 – 2.000 = 1.000 Hz

La posizione delle frequenze di taglio superiore ed inferiore come anticipato dipende dal tipo di filtro e pendenza, la quale può variare in base al Boost o Cut dato.

A livello teorico è anche possibile ritrovare la Bandwidth conoscendo la frequenza centrale e il Q:

Bw = Fc / Q = 2.450 Hz / 2.45 = 1.000 Hz

n.b. Ma questo vale solo in considerazione di un filtro ideale.

Per trovare invece la frequenza centrale devo essere a conoscenza del Q e della Bandwidth o singole frequenze di taglio.

Fc = (f2 – f1) x Q = Bw x Q = 1.000 x 2.45 = 2.450 Hz

Per cui se ad esempio ho la necessità di amplificare la banda da 2.000 Hz a 3.000 Hz ad esempio per enfatizzare la presenza in medio-alta, devo sapere che avrò un picco di + X dB alla frequenza centrale di 2.450 Hz.

Per trovare il Fattore Q conoscendo la frequenza centrale e la Bandwidth:

Q = Fc / Bw = 2.450 Hz / 1.000 Hz = 2,45

E’ possibile anche trovare f1 ed f2 conoscendo la Bandiwdth ed il valore della frequenza di taglio opposta:

f1 = f2 – Bw

f2 = f1 + Bw

Oppure è possibile trovare f1 ed f2 conoscendo Q:

n.b. Questi calcoli ripeto valgono come anche visto per i filtri Shelving, per un filtro ideale teorico in quanto che i reali filtri possono avere come vedremo molte variabili. Se presenta controlli di Slope, e controlli sul rapporto Guadagno/Q come visto in alcuni filtri, questi calcoli sono ulteriormente mediati, e la Bandwidth varia proporzionalmente alle variazioni di questi valori, per cui più contestualmente vale che la Bandwidth si presenta ad un valore di 0,707 o 70% rispetto a 1 o 100% in cui si considera il valore della frequenza cenrale, e come si può intuire è un valore che tende ad essere sempre più piccolo tanto meno guadagno di da.

Come vedremo più avanti nel corso di questa trattazione, alcuni equalizzatori permettono di variare la campana del filtro non tramite il fattore Q ma tramite la Bandwidth, agendo quindi sullo spostamento della frequenza inferiore e superiore con stesso rapporto in relazione ad una frequenza centrale. Questo è realizzato a livello pratico identificando il valore della Bandwidth stessa come frazione d’ottava (in cui N identifica il numero di ottave coperte), (rimando all’argomento Psicoacustica per maggiore dettagli sulle Ottave), quindi più ottave copre la Bandwidth e più la campana è larga, e conoscendo questo è possibile identificare a ritroso il valore di Q:

In un contesto pratico reale, il controllo di Bandwidth è definito quindi da un variatore di ottave e questo non varia al variare della frequenza centrale, mantenendo cosi anche il valore Q ritrovabile con la tabella sopra. Per fare un esempio se mi trovo con frequenza centrale a 5.000 Hz se imposto una Bandwidth N 1 avrò f1 a 3.500 Hz e f2 a 7.000 hz che è esattamente la larghezza di banda di 1 ottava (cioè un raddopio di f1), se mi trovo con frequenza centrale a 85 Hz sempre con Bandwidth N1 avrò f1 a 60 Hz e f2 a 120 hz che è sempre 1 ottava e per cui la larghezza della campanatura rimane la stessa, mantenendo lo stesso valore di Q, anche se poi come precedente visto il suo valore dipende dal tipo di filtro, quindi il valore Q della tabella sopra, in contesto reale è variabile per il tipo filtro utilizzato, in questo caso ideale.

In figura 8 un esempio di quanto appena detto:

Fig. 8

A livello di cicruiteria questa è simile a quella con variatore Q ma con controllo di f1 ed f2.

Rimando a questo link in cui è possibile calcolare in modo automatico diversi fattori, tra cui Q e Bandwidth:

http://www.sengpielaudio.com/calculator-cutoffFrequencies.htm

Note

A livello percettivo la Bandwidth è la banda di frequenze che ha il maggiore contributo energetico medio, per cui si, si avranno frequenze anche sopra alla frequenza di taglio inferiore e superiore che identificano la Passband con un contributo energetico maggiore, ma queste in proporzione saranno meno percepite rispetto a quelle presenti a livello Bandwidth e quindi soprattutto per alti valori di Q la Passband è trascurabile a livello percettivo, si comporta più come percezione dinamica di un picco, quanto più ci si concentra ed è chiara la percezione della Bandwitdh. Più la campana è larga, quindi bassi valori di Q e tanto maggiore sará il contributo energetico in Passband avendo una sempre maggiore presenza percettiva, e per questo come vedremo più avanti è possibile se necessario lavorare con differenti filtri in grado di regolare l’ampiezza ed il comportamento della curva nella sola Passband.

Per quanto riguarda lo Slope della pendenza di taglio, come anticipato questo è a pendenza lineare da – 3 dB (per l’esempio di figura 52), ma che varia in base al tipo di filtro utilizzato, fino ad un minimo valore che dipende dal grado di direttività Q, il quale tanto più è elevato e tanto più attenuata sarà la frequenza per cui si avrà il decadimento lineare, sopra e sotto si ha un tipo di decadimento curvo quasi-speculare (fig. 9), ma ci possono essere variabili che dipendono dal tipo di circuito, come vedremo più avanti.

Fig. 9

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